所有する自作60cmドブソニアンや自作40cmドブソニアンの主鏡の光学性能を評価するため、フーコーテスターを自作し、フーコーテストを行いました。 ここではフーコーテストの原理と実施の結果を紹介します。

フーコーテストの原理

フーコーテストでは焦点距離 f の 2 倍の距離に光源を置き、反射鏡で反射した光をナイフで切ることで反射鏡の局所的な曲率半径を測定できる技術のことで、一種の「光てこ」になります。

ここでまず、球面鏡の場合を考えます。 球面鏡は「球心」(鏡から焦点距離 f の 2 倍離れたところ)から出た光は球面鏡のどこで反射しても再び球心に戻ってくるという性質があります。 そのため(理想的な)球面鏡の場合、フーコーテストを行うと、光源から出た光は球面鏡に反射し、再び球心=光源と同じ位置で 1 点で交わることになります。

次に放物面鏡を考えます(他の非球面鏡の場合も同じ)。 この場合、球面鏡ではないため、焦点距離の 2 倍離れたところに置いた光源から出た光は 1 点では交わりません。 反射鏡の高さ(入射高)毎に別々の場所に光が集まることになります。 どこに光が集まるかは計算であらかじめ判ることから、入射高 h 毎に光が集まる場所 xk を記録し、計算と比較することで、どんな形状の反射鏡なのか推定することができます。 これがフーコーテストの原理です。

次の図は焦点距離 f の放物面鏡のフーコーテストを示したものです。 ナイフと光源の位置が同じ(一緒に動く)場合、点 K に位置する光源から出た光は、反射鏡のある高さ(入射高)h で反射し、再び点 K に戻ってくると考えます。 この図のように、(理想的な)放物面鏡の場合、ナイフ位置と入射高との関係式は簡単に求めることができます。

Optical Layout for Parabolic Reflection
Optical layout of parabola mirror reflection

ここでフーコーテスターで測定したナイフ位置 xk と入射高 h を考えます。 実際に市販されている放物面鏡は、多かれ少なかれ理想的な放物面からの「ズレ」を持っています。 そのため実際の測定結果と理論的な計算結果は完全には一致しません。 この理想的な放物面からの「ズレ」から、鏡面の「収差」をこのあと見積もっていきます。そしてこのフーコーテストの測定結果と理論位置の差を、ここでは「ナイフ位置誤差」と呼ぶことにします。

次にナイフ位置誤差から縦収差への変換を考えます。 フーコーテストでは焦点距離 f の 2 倍離れたところの光源を見て、その時どれだけナイフ位置がズレるか測定しました。 しかし実際に私達が知りたいのは、無限遠の光源からの光、つまり天体からの光が、どのように集まるか、です。 これは「縦収差」(結像面の前後にズレる収差)と呼ばれる収差に相当します。

検討の結果、「ナイフ位置誤差」から「縦収差」への変換は数値的に計算して推定することにしました。 数値計算の結果、縦収差はナイフ位置誤差のほぼ 1/2 となることがわかりました(ただしこれは「ナイフと光源が一緒に動く場合」です)。

さらに「縦収差」から「波面収差」へ変換します。 この場合は少し計算が面倒ですが、次の図のように考える事で、 入射高 h の理想波面と、Δs の球面収差のある入射高 h+Δh の波面のズレ量(=波面収差Δw)は DE となることがわかります。 図中のそれぞれ点 A, B, C, D, E 座標は、直線と曲線の交点を求めることで計算で簡単に求める事が出来ます。 そこから DE の長さを求めます。 さらに、計算から求めた DE(Δw)は入射高 h から h+Δh の間の波面収差なので、鏡全体の波面収差は、鏡の中心から縁までの波面収差を足し合わせる(w = ΣΔw)ことで求められます。

Longitudinal Aberration to Wavefront Aberration
Longitudinal aberration to wavefront aberration

以上まとめると、フーコーテストではまずナイフ位置 xk と入射高 h を測定で求め、次に計算から求められる理想と比較することで「ナイフ位置誤差」を求めます。この「ナイフ位置誤差」から「縦収差」そして「波面収差」を計算することになります。

フーコーテストはなんだかややこしいことをやっているように感じられますが、実際には「光てこ」といって光の反射の法則と光の直進性を利用することで、鏡面を非常に大きな拡大率で見ていることになります。実際、(焦点距離や入射高に依りますが)0.1 mm のナイフ位置誤差は 10nm 程度の波面収差に相当します。 フーコーテストは非常に簡単な原理ですが、鏡面を約10000倍拡大して見ることの出来る、非常に強力な技術(光てこ)なのです。

自作フーコーテスター

フーコーテスターを自作しました。 プロクソンのマイクロクロステーブルを使用し、X, Yに微動出来るようにしています。 動かした量はダイヤルゲージで測定します。 60 cm F3.3 放物面鏡の場合は移動量が多いためダイヤルゲージを2つ使用しています。 ナイフと光源は一緒に動かすタイプとなります。 ナイフはカミソリの刃を買ってきて、そのまま取り付けています。 光源は白色 LED ライトのついたキーホルダーを利用しました。 ピンホールやスリットを置かない、いわゆる「スリットレス」フーコーテスターです。 微動ステージの動きが渋いのでそのうち作り直したいと思っています。

自作60cmドブソニアンの製作過程写真 自作60cmドブソニアンの製作過程写真 自作60cmドブソニアンの製作過程写真

実際の測定

何回か測定しているうちに、どうすれば測定がうまく行くか分かってきました。 ノウハウを簡単に列記します。

40cm F4.5 Discovery Telescopes

自作40cmドブソニアンで使用していた Discovery Telescopes 社製 40cm F4.5 主鏡のフーコーテスト結果を以下に示します。

物理口径406 mm
有効口径403 mm
焦点距離1824 mm
鏡材Pyrex
製造元Discovery Telescopes
購入年2006年
測定日2015年5月17日
測定者沖田博文
Foucault test result for 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes
Foucault test result of a 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes
PV波面収差184.8 nm (λ/2.7)
RMS波面収差59.3 nm (λ/8.4)
PV鏡面収差92.4 nm (λ/5.4)
RMS鏡面収差29.7 nm (λ/17)
ストレール比0.44
ハルトマン定数0.60
Foucaultgram for 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes
Foucaultgram of a 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes

波長は暗所視比感度のピーク波長である 500 nm で計算しました。 今回の測定結果から自作40cmドブソニアンの主鏡は単純な「負修正」に近い形状であることが示されました。 実際に高倍率で明るい恒星を観察すると、確かに焦点内外像は非対称に見え、教科書通り負修正の傾向がよく分かります。

しかし不思議とこの程度の精度でもピントが合った位置では星像が肥大しているようには感じませでした。 口径がある程度大きい場合は星像のシャープさは鏡面精度よりもシーイングで決定されるのかもしれません。ただしこれまで10年間使ってきて 1 度もこの鏡でエアリーディスが見えた経験がなかったため、非常に条件の良いときには鏡の精度不足で細部が見えていなかったと思います。

60cm F3.3 Lockwood Custom Optics #1

自作60cmドブソニアンで使用している Lockwood Custom Optics 社製 60cm F3.3 主鏡のフーコーテスト結果を以下に示します。

物理口径610 mm
有効口径605 mm
焦点距離2024 mm (公称値: 79.6")
鏡材Supremax
製作者Michael E. Lockwood
製造年月日 2016年1月4日
シリアルナンバー#0312
測定日2016年9月17日
測定者沖田博文
Foucault test result for 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics
Foucault test result of a 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics
PV波面収差116.4 nm (λ/4.3)
RMS波面収差26.0 nm (λ/19)
PV鏡面収差58.2 nm (λ/8.6)
RMS鏡面収差13.0 nm (λ/38)
ストレール比0.89
ハルトマン定数0.37
Foucaultgram for 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics
Foucaultgram of a 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics

波長は暗所視比感度のピーク波長である 500 nm で計算しました。 測定結果からは自作60cmドブソニアンの主鏡は「高次の球面収差」があることが示されました。 実際に高倍率で明るい恒星を見てみると、焦点内外像で非対称なのは分かりますが、教科書にあるような単純な負修正・過修正のような星像ではないことが分かります。

また全体として波面収差が少ないためか、60 cm と口径は大きいのですが、シーイングに恵まれた日には800倍以上の高倍率で明るい恒星を観察するとエアリーディスクを見ることが出来ました。これは40cmドブでは得られなかった経験です。

非点収差の検出

自作60cmドブソニアンでは300倍以上の高倍率で明るい恒星を見ると焦点内外像から「非点収差」が認められます。 これまで色々な方法でその原因を探り、定量化を行ってきましたが、2019年4月現在 Michael E. Lockwood 氏の協力・助言もあり、主鏡に原因があるとほぼ特定しました。 そして非点収差の量も、主鏡の焦点距離がある方向とそれと直交する方向とで約 0.07 mm 違うことに相当する量と見積りました。

ここで、非点収差はフーコーテストでも検出が可能なはずです。 たとえば Mike Lockwood's Foucalut Testing Hall of Shame には非点収差がある場合には勾玉のような特徴的な形が見られることが示されています。 鏡を回転させ、非点収差の向きがナイフと 45度 になるとこの特徴的な形が見えるようです。 そこで私も10度刻みに主鏡を回転させて何度もフーコーテストを試みましたが、私の測定では全く検出することができませんでした。

そこで数値的にシミュレートしてみることにしました。 主鏡の焦点距離がある方向とそれと直交する方向とで 0.07 mm 違うと仮定して、フーコーテストでどう見えるか数値的に求めました。 その結果、わずかな違いがあることは分かりましたが、0.07 mm では非点収差がない場合とほとんど同じ形になることが分かりました。 0.07 mm の非点収差は素人の私ではフーコーテストで検出することはかなり難しいことが分かりました。

以下にシミュレーション結果を例示します。左側の図が非点収差がない場合、右側の図が非点収差がある場合を表します。灰色の領域はフーコーテストのナイフから +/- 0.01 mm の領域を表し、測定時の室内の気流の影響で曖昧に見える範囲を表しています。

0.07 mm astigmatism on 60cm F3.3 mirror
Simulation of a Foucaultgram with an astigmatism of 0.07 mm on 60cm F3.3 mirror

0.07 mm の非点収差だと、(少なくとも)私にはフーコーテストでその存在を見分けることはかなり難しいと思われます。 実際にフーコーテストで何度も非点収差の検出を試みてみましたが、全く検出することはできませんでした。

また参考のため、以下に 0.50 mm の非点収差の場合もシミュレートした結果を示します。 0.50 mm と非点収差が大きい場合、非点収差の特徴的な形がフーコーテストで見えることが分かります。

0.50 mm astigmatism on 60cm F3.3 mirror
Simulation of a Foucaultgram with an astigmatism of 0.50 mm on 60cm F3.3 mirror

以上まとめると、自作60cmドブソニアンでは300倍以上の高倍率で非点収差が見られ、その原因は主鏡にあると推定されるが、見積もられる非点収差の量 0.07 mm はフーコーテストでは検出することは難しい、ということです。

フーコーテストは鏡面形状を測定する強力な技術(光てこ)ですが、ここで示したように限界もあるようです。 ちなみにこの 60cm F3.3 の 0.07 mm の非点収差は波面収差に換算すると約 590 nm となります。 これは干渉計を用いれば容易に検出することができる量です。

60cm F3.3 Lockwood Custom Optics #2

非点収差の原因が主鏡にあると考えらるため、2019年4月に主鏡の交換を依頼しました。 交換後の主鏡は2020年春頃に納品の予定です。 新しい鏡でもフーコーテストを行い、性能を定量化したいと考えます。