所有する自作60cmドブソニアンや自作40cmドブソニアンの主鏡の光学性能を評価するため、フーコーテスターを自作し、フーコーテストを行いました。 ここではフーコーテストの原理と実施の結果を紹介します。

フーコーテストの原理

フーコーテストでは焦点距離 f の 2 倍の距離に光源を置き、反射鏡で反射した光をナイフで切ることで反射鏡の局所的な曲率半径を測定できる技術のことで、一種の「光てこ」になります。

まず球面鏡の場合を考えます。 球面鏡は「球心」(鏡から焦点距離 f の 2 倍離れたところ)から出た光は球面鏡のどこで反射しても再び球心に戻ってくるという性質があります。 そのため(理想的な)球面鏡の場合にフーコーテストを行うと光源から出た光は球面鏡に反射して再び球心=光源と同じ位置に戻り、1 点で交わることになります。

次に放物面鏡を考えます(他の非球面鏡の場合も同じ)。 この場合は球面鏡ではないため焦点距離の 2 倍離れたところに置いた光源から出た光はほぼ高原と同じ位置に戻ってきますが 1 点では交わりません。 反射鏡の高さ(入射高)毎に別々の場所に光が集まることになります。 ただしどこに光が集まるかは計算であらかじめ判ることから入射高 h 毎に光が集まる場所 xk を記録して計算と比較することでどんな形状の反射鏡なのかを推定することができます。 これがフーコーテスト(ゾーンテスト)の原理です。

次の図は焦点距離 f の放物面鏡のフーコーテストを示したものです。 ナイフと光源の位置が同じ(一緒に動く)場合、点 K に位置する光源から出た光は反射鏡のある高さ(入射高)h で反射して再び点 K に戻ってくると考えます。 この図のような(理想的な)放物面鏡の場合、ナイフ位置と入射高との関係式は簡単に求めることができます。

Optical Layout for Parabolic Reflection
Optical layout of parabola mirror reflection

ここでフーコーテスターで測定したナイフ位置 xk と入射高 h を考えます。 実際に市販されている放物面鏡は多かれ少なかれ理想的な放物面からの製造誤差=「ズレ」を持っています。 そのため実際の測定結果と理論的な計算結果は完全には一致しません。 この理想的な放物面からの「ズレ」から鏡面の「収差」を見積もっていきます。そしてこのフーコーテストの測定結果と理論位置の差を、ここでは「ナイフ位置誤差」と呼ぶことにします。

次にナイフ位置誤差から縦収差への変換を考えます。 フーコーテストでは焦点距離 f の 2 倍離れたところの光源を見て、その時どれだけナイフ位置がズレるかを測定しました。 しかし実際に私達が知りたいのは無限遠の光源からの光、つまり天体からの光がどのように集まるか、です。 これは「縦収差」(結像面の前後にズレる収差)と呼ばれる収差に相当します。

検討の結果、「ナイフ位置誤差」から「縦収差」への変換は数値的に計算して推定すればよいと考えました。 数値計算の結果、縦収差はナイフ位置誤差のほぼ 1/2 となることがわかりました(ただしナイフと光源が一緒に動く場合)。

さらに「縦収差」から「波面収差」へ変換します。 この場合は少し計算が面倒ですが、次の図のように考える事で、 入射高 h の理想波面と、Δs の球面収差のある入射高 h+Δh の波面のズレ量(=波面収差Δw)は DE となることがわかります。 図中のそれぞれ点 A, B, C, D, E 座標は、直線と曲線の交点を求めることで計算で簡単に求める事が出来ます。 そこから DE の長さを求めます。 さらに、計算から求めた DE(Δw)は入射高 h から h+Δh の間の波面収差なので、鏡全体の波面収差は、鏡の中心から縁までの波面収差を足し合わせる(w = ΣΔw)ことで求められます。

Longitudinal Aberration to Wavefront Aberration
Longitudinal aberration to wavefront aberration

以上まとめると、フーコーテストではまずナイフ位置 xk と入射高 h を測定で求め、次に計算から求められる理想と比較することで「ナイフ位置誤差」を求めます。この「ナイフ位置誤差」から「縦収差」そして「波面収差」を計算することになります。

フーコーテストはなんだかややこしいことをやっているように感じられますが、原理としては「光てこ」と言って「光の反射の法則」と「光の直進性」を利用することで鏡面の凸凹を非常に大きく拡大して見ていることになります。 実際(焦点距離や入射高にもよりますが)0.1 mm のナイフ位置誤差は 10 nm 程度の波面収差に相当します。 フーコーテストは非常に簡単な原理ですが、鏡面を約 10,000 倍に拡大して見ることの出来る、非常に強力な技術(光てこ)と言えます。

自作フーコーテスター

フーコーテスターを自作しました。 プロクソンのマイクロクロステーブルを使用して X, Y に微動出来るようにしました。 動かした量はダイヤルゲージで測定します。 60 cm F3.3 放物面鏡の場合は移動量が多いためダイヤルゲージを2つ使用しました。 ナイフと光源は一緒に動かすタイプです。 ナイフはカミソリの刃を買い、そのまま取り付けてました。 光源は白色 LED ライトのついたキーホルダーを使用しました。 ピンホールやスリットを置かない、いわゆる「スリットレス」タイプのフーコーテスターです。 微動ステージの動きが渋いため、そのうち作り直したいと思っています。

自作60cmドブソニアンの製作過程写真 自作60cmドブソニアンの製作過程写真 自作60cmドブソニアンの製作過程写真

自作フーコーテスター(新)

旧フーコーテスターの微動ステージの動きが渋かったため、自作15cm鏡の研磨に合わせて新たに製作しました。 微動ステージは Amazon.com で見つけた60 mm 角のマイクロステージで X, Y, Z に微動できます。 移動量は分解能 1/100 mm の分解能のデジタルゲージで測定します。 このフーコーテスターもナイフと光源は一緒に動かすタイプでピンホールやスリットの無い「スリットレス」タイプのフーコーテスターとし、光源は緑色の高輝度 LED を使用しました。 動きが非常に滑らかで、ストレス無く測定ができます。

実際の測定

何回か測定しているうちに、どうすれば測定がうまく行くか分かってきました。 ノウハウを簡単に列記します。

40cm F4.53 Discovery Telescopes

自作40cmドブソニアンで使用していた Discovery Telescopes 社製 40cm F4.5 主鏡のフーコーテスト結果を以下に示します。

物理口径406 mm
有効口径403 mm
焦点距離1824 mm
F値4.53
鏡材Pyrex
製造元Discovery Telescopes
購入年2006年
測定日2015年5月17日
測定者沖田博文
Foucault test result for 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes
Foucault test result of a 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes
PV波面収差184.8 nm (λ/2.7)
RMS波面収差59.3 nm (λ/8.4)
PV鏡面収差92.4 nm (λ/5.4)
RMS鏡面収差29.7 nm (λ/17)
ストレール比0.44
ハルトマン定数0.60
Foucaultgram for 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes
Foucaultgram of a 40cm F4.5 mirror made by Discovery Telescopes

波長は暗所視比感度のピーク波長である 500 nm で計算しました。 今回の測定結果から自作40cmドブソニアンの主鏡は単純な「負修正」に近い形状であることが示されました。 実際に高倍率で明るい恒星を観察すると確かに焦点内外像は非対称に見え、教科書通り負修正の傾向がよく分かります。

しかし不思議と、この程度の精度でもピントが合った位置では星像が肥大しているようには感じませでした。 口径がある程度大きい場合は星像のシャープさは鏡面精度よりもシーイングで決定されるのかもしれません。 ただしこれまで10年間使ってきて 1 度もこの鏡でエアリーディスが見えた経験がなかったため、非常に条件の良いときには鏡の精度不足で細部が見えていなかったのかもしれません。

60cm F3.35 Lockwood Custom Optics

自作60cmドブソニアンで2019年まで使用してきた Lockwood Custom Optics 社製 60cm F3.3 主鏡のフーコーテスト結果を以下に示します。

物理口径610 mm
有効口径605 mm
焦点距離2024 mm (公称値: 79.6")
F値3.35
鏡材Supremax
製作者Michael E. Lockwood
製造年月日 2016年1月4日
シリアルナンバー#0312
測定日2016年9月17日
測定者沖田博文
Foucault test result for 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics
Foucault test result of a 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics
PV波面収差116.4 nm (λ/4.3)
RMS波面収差26.0 nm (λ/19)
PV鏡面収差58.2 nm (λ/8.6)
RMS鏡面収差13.0 nm (λ/38)
ストレール比0.89
ハルトマン定数0.37
Foucaultgram for 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics
Foucaultgram of a 60cm F3.3 mirror made by Lockwood Custom Optics

波長は暗所視比感度のピーク波長である 500 nm で計算しました。 測定結果からは自作60cmドブソニアンの主鏡は「高次の球面収差」があることが示されました。 実際に高倍率で明るい恒星を見てみると焦点内外像で非対称なのは分かりますが、教科書にあるような単純な負修正・過修正のような星像ではないことが分かります。

また全体として波面収差が少ないためか、60 cm と口径は大きいのですが、シーイングに恵まれた日には800倍以上の高倍率で明るい恒星を観察するとエアリーディスクを見ることが出来ました。 これは40cmドブでは得られなかった経験です。

非点収差の検出

自作60cmドブソニアンでは300倍以上の高倍率で明るい恒星を見ると焦点内外像から「非点収差」が認められます。 これまで色々な方法でその原因を探り、定量化を行ってきましたが、2019年4月現在 Michael E. Lockwood 氏の協力・助言もあり、主鏡にその原因があると推定 しています。 そして非点収差の量は、主鏡の焦点距離がある方向とそれと直交する方向とで約 0.07 mm 違うことに相当する量と見積りました。

ここで、非点収差はフーコーテストでも検出が可能なはずです。 たとえば Mike Lockwood's Foucalut Testing Hall of Shame には非点収差がある場合には勾玉のような特徴的な形が見られることが示されています。 鏡を回転させ、非点収差の向きがナイフと 45度 になるとこの特徴的な形が見えるようです。 そこで私も10度刻みに主鏡を回転させて何度もフーコーテストを試みましたが、私の測定では全く検出することができませんでした。

そこで数値的にシミュレートしてみることにしました。 主鏡の焦点距離がある方向とそれと直交する方向とで 0.07 mm 違うと仮定して、フーコーテストでどう見えるか数値的に求めました。 その結果、わずかな違いがあることは分かりましたが、0.07 mm では非点収差がない場合とほとんど同じ形になることが分かりました。 0.07 mm の非点収差は素人の私ではフーコーテストで検出することはかなり難しいことが分かりました。

以下にシミュレーション結果を例示します。左側の図が非点収差がない場合、右側の図が非点収差がある場合を表します。灰色の領域はフーコーテストのナイフから +/- 0.01 mm の領域を表し、測定時の室内の気流の影響で曖昧に見える範囲を表しています。

0.07 mm astigmatism on 60cm F3.3 mirror
Simulation of a Foucaultgram with an astigmatism of 0.07 mm on 60cm F3.3 mirror

0.07 mm の非点収差だと、(少なくとも)私にはフーコーテストでその存在を見分けることはかなり難しいと思われます。 実際にフーコーテストで何度も非点収差の検出を試みてみましたが、全く検出することはできませんでした。

また参考のため、以下に 0.50 mm の非点収差の場合もシミュレートした結果を示します。 0.50 mm と非点収差が大きい場合、非点収差の特徴的な形がフーコーテストで見えることが分かります。

0.50 mm astigmatism on 60cm F3.3 mirror
Simulation of a Foucaultgram with an astigmatism of 0.50 mm on 60cm F3.3 mirror

以上まとめると、自作60cmドブソニアンでは300倍以上の高倍率で非点収差が見られ、その原因は主鏡にあると推定されるが、見積もられる非点収差の量 0.07 mm はフーコーテストでは検出することは難しい、ということです。

フーコーテストは鏡面形状を測定する強力な技術(光てこ)ですが、ここで示したように限界もあるようです。 ちなみにこの 60cm F3.3 の 0.07 mm の非点収差は波面収差に換算すると約 590 nm となると思われます。 これは干渉計を用いれば容易に検出することができる量です。

15cm F6.71 自作15cm鏡

2019年に鏡面研磨した自作 15cm F6.7 のフーコーテスト結果を以下に示します。

物理口径152.6 mm
有効口径151.6 mm
焦点距離1016.5 mm
F値6.71
鏡材Pyrex
製作者沖田博文
製造年月日 2019年9月22日
シリアルナンバー#001
測定日2019年9月25日
測定者沖田博文
Foucault test result for 15cm F6.7 mirror made by Hirofumi Okita
Foucault test result of a hand made 15cm F6.7 mirror
PV波面収差37.9 nm (λ/13)
RMS波面収差13.5 nm (λ/37)
PV鏡面収差18.9 nm (λ/26)
RMS鏡面収差6.8 nm (λ/74)
ストレール比0.97
ハルトマン定数0.16
Foucaultgram for a hand made 15cm F6.7 mirror
Foucaultgram of a hand made 15cm F6.7 mirror
Foucaultgram for a hand made 15cm F6.7 mirror

波長は暗所視比感度のピーク波長である 500 nm で計算しました。 自作15cm鏡はφ55mmよりも外側でほぼ放物面に磨けているものの、φ55mmより内側で負修正、さらにφ30mmよりも内側は深い穴となっているようです。 しかし絶対的なエラー量(縦収差量)は +/-0.06 mm と少なく、PV波面収差にすると λ/13 と計算され、うまく磨けているように思います。

ただしフーコーテストの画像からは鏡面が荒れていることが分かり、そのためコントラストは悪いかもしれません。 滑らかな鏡面にするには使い古した研磨剤が必要とのことで、丁寧な研磨を心がけましたが初めての自作鏡ではこれ以上は難しいと思います。

60cm F3.25 Lockwood Custom Optics(新)

自作60cmドブソニアンの非点収差の原因が主鏡にあると考えらたため、2019年4月に主鏡の交換を依頼しました。 交換後の Lockwood Custom Optics 社製 60cm F3.2 主鏡のフーコーテスト結果を以下に示します。

物理口径609.5 mm
有効口径606 mm
焦点距離1967 mm (公称値: 77.45")
F値3.25
鏡材Fused Quartz
製作者Michael E. Lockwood
製造年月日 2019年12月15日
シリアルナンバー#0421Q
測定日2020年1月15日
測定者沖田博文